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Date Posted: 13/05/07 12:11:15
Author: Francisco
Subject: Creación cuántica 'ex nihilo' del Universo (II- Formulación de Feynman de la MC)
In reply to: Francisco 's message, "Creación cuántica ex nihilo del Universo (I)" on 7/05/07 9:46:34




La TC es una Teoría de la Gravedad Cuántica, que permite compaginar en una única teoría la RG y la MC, a las que contiene como subteorías. Pocas situaciones en la realidad precisan de semejante nivel de descripción. Una de ellas es el propio Universo, en el llamado tiempo de Planck (o era de Planck), que es el mínimo intervalo de tiempo con significado físico (el menor intervalo de tiempo en el que puede suceder algo), y que es el lapso de tiempo transcurrido entre el instante de la Creación y 10-43 sg (orden de magintud) después (la llamada Era de la Gravedad Cuántica del Universo). El tiempo de Planck se define por




Frente a la tradicional formulación, basada en operadores, Hamiltoniana, de la MC, existe una formulada por Richard Feynman (Nobel de Física 1965), basada en el concepto de propagador y de integral de camino (o integral de Feynman. No confundir con la integral de línea, que es una integral de Riemann sobre una variedad topológica unidimensional: una curva).

Consideremos una partícula mecano-cuántica, no relativista, moviéndose en una región de potencial V(x,t). Se tiene, entonces:

DEFINICIÓN.- El propagador o amplitud de probabilidad cuántica del evento (x'', t'') ← (x', t') (partícula que, estando en x' en el tiempo t', está en x'' en el tiempo t'') es




Donde el dominio de integración es la clase de caminos que unen (x',t') con (x'',t'').

El miembro de la derecha de la anterior igualdad es un número complejo (la integral de camino de Feynman, una integral 'infinito-dimensional', todavía no matemáticamente definida con rigor). Su módulo al cuadrado es un número real, que representa «la probabilidad de que, estando la partícula cuántica en x' en el intante t', esté en x'' en el instante t''».
S[x(t)] es un funcional llamado acción, correspondiente a la trayectoria x(t), y definido por:



Es decir, la integral de Riemann, en el intervalo [t',t''], de la diferencia entre la energía cinética y la potencial de la partícula (sobre esa trayectoria).

Por lo tanto tenemos:


Prob{partícula en (x',t') → partícula en (x'',t'')} = | < x'',t'' | x',t' >|2


Richard Feynman

La interpretación anterior de la MC, debida a Feynman, se denomina, en el argot técnico, interpretación Lagrangiana.

Normalmente se suele realizar una transformación, en el plano complejo, para poner la integral de Feynman del propagador en una forma más manejable para los cálculos. La transformación es una rotación o giro de centro el origen del plano complejo y amplitud -π/2, lo cual equivale a multiplicar cada número complejo por el complejo -i = e-i(π/2).
Restringida a la variable tiempo, dicha transformación queda: t → -iτ. Y aplicándola a la integral de Feynman anterior, esta se transforma en:





donde I[x(τ)] es el funcional euclideano de acción:




Estado Base. Sea ahora el propagador < x0,0| 0,t >, y desarrollémoslo en un conjunto completo de estados propios de la energía (total):




Aplicando continuación analítica (t → -iT), normalizando la energia con E0 = 0 y calculando el límite cuando T → -∞, nos queda (omito varios cálculos):




Es decir, sólo el estado base es el supérstite, y viene dado por la integral de Feynman anterior.
C es la clase de los caminos que provienen de x = 0 en el tiempo euclidiano T = - ∞, y llegan a x0 en el tiempo 0.

El desarrollo análogo a este, en Cosmología Cuántica, es el llamado de Hartle-Hawking, y será motivo de exposición en el mensaje siguiente.



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