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Date Posted: 14/05/07 12:03:25
Author: Francisco
Subject: Creación cuántica 'ex nihilo' del Universo (III-Modelo H-H)
In reply to: Francisco 's message, "Creación cuántica 'ex nihilo' del Universo (II- Formulación de Feynman de la MC)" on 13/05/07 12:11:15


Existe una similitud entre la dinámica clásica de una partícula puntual, con posición x, y la de una 3-geometría (1) hij. En la formulación hamiltoniana de la RG, hij ejerce el papel que la variable posición x representa en la dinámica de una partícula.
Al cuantizar dicha partícula clásica obtenemos una función de onda cuántica ψ(x,t), la cual verifica la conocida ecuación de Schrödinger.

Análogamente, en gravedad cuántica (2) tenemos un funcional de onda, Ψ[hij], el cual contiene toda la información sobre la gravedad cuántica (en analogía con el caso clásico de la partícula cuántica), y que verifica una ecuación diferencial funcional de segundo orden, la ecuación de Wheeler-DeWitt.

Al estudiar la cuantización de la RG, se describe la amplitud de probabilidad cuática para ir desde una 3-geometría inicial h'ij, hasta una final h''ij. Dicha amplitud viene formalmente dada por la integral de camino euclideana:





∫C exp{-IE[gμν]/h} Dgμν


donde C es la clase de las 4-métricas (compactas) riemannianas gμν con métricas inducidas inicial y final h'ij, h''ij.

Es Gravedad Cuántica, por lo tanto, restringiéndonos a universos espacialmente cerrados, la función de onda del Universo viene dada por Ψ[hij], dependiente de la 3-métrica hij.

La amplitud de probabilidad para ir desde una 3-geometría h'ij ,sobre una superficie inicial de género espacio, hasta una 3-geometría h''ij, sobre la correspondiente superficie final, viene dada por:



< h''ij | h'ij > = ∫C exp{iSE[gμν]/h} Dgμν



Con C el mismo dominio declarado antes.

Extendiendo ahora a la gravedad el desarrollo del anterior mensaje, hecho para una partícula mecano-cuántica, no relativista, escribiremos, para la función de onda del estado base del Universo (se eligen unidades 'naturales', de Planck, en las que h = c = G = 1):







Ψ0[hij] = K ∫C exp{-IE[gμν]} Dgμν








donde IE es la acción euclideana para la gravedad (en analogía con la de la partícula desarrollada en el mensaje anterior), la cual contiene una constante cosmológica Λ. C es ahora la clase de las 4-métricas gμν sobre variedades compactas con métrica inducida hij sobre la frontera de las mismas. K, una constante.

Hartle y Hawking argumentan que la anterior expresión, en similitud con el desarrollo expuesto en el anterior mensaje, representa la amplitud de probabilidad de observar al Universo con una 3-geometría hij, proviniendo de una 3-geometría idénticamente nula, hij ≡ 0; es decir, de un punto matemático (ejemplo trivial de variedad). In other words, the ground state is the amplitude for the Universe to appear from nothing (3).

Stephen Hawking










1Cuando hablamos de 4-geometrías, nos referimos a un espacio-tiempo con métrica gμν. Una 3-geometría es una familia uniparamétrica de superficies de género espacio (dos puntos cualesquiera de una de ellas están siempre conectados por una curva de género espacio t = const.), junto con la restricción, hij, de la metrica gμν, a dichas superficies.

El espacio-tiempo, o colección de todos los eventos, defínese como la clase de equivalencia, por isometrías, de pares ordenados (M,g), deonde: 1) M es una variedad diferenciable tetradimensional, de clase C∞, conexa y de Hausdorff, y 2) g es una métrica lorentziana (de signatura +2) definida sobre M

2Dícese que estamos en el domimio de la Gravedad Cuántica cuando las escalas de longitud implicadas son del orden de magnitud de la longitud de Planck

Curvaturas correspondientes a esta longitud las hubo en el universo primitivo.

3Wave function of the Universe, J.B. Hartle; S.W. Hawking. Physical Review, 1983.

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